Đề thi Toán Khối A và khối A1 năm 2012

test công thức toán học trên blogspot.

PHẦN NHIỀU THÍ SINH THƯỜNG LÀM (8,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số $y=x^4 -2(m+1)x^2+m^2\quad  (1)$, với $m$ là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi $m = 0$.

b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải: b) $y=x^4 -2(m+1)x^2+m^2\quad  (1)$

Đạo hàm: $y'= 4x^3-4(m+1)x$

$y'= 0 \Longleftrightarrow 4x(x^2-m-1)=0 \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x& = 0 \\ x^2 & = m+1 \end{array} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m+1>0 \Longleftrightarrow m >-1$

Khi đó tọa độ của ba điểm cực trị là:

$A \left\{ \begin{array}{ll} x& = 0 \\ y & = m^2 \end{array} \right. ;\qquad B \left\{ \begin{array}{ll} x& = -\sqrt{m+1} \\ y & = -2m-1 \end{array} \right. ;\qquad C \left\{ \begin{array}{ll} x& = \sqrt{m+1} \\ y & = -2m-1 \end{array} \right.$

Ta có nhận xét tam giác $ABC$ cân tại A. Do đó tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi tam giác này vuông tại $A$.

Điều này tương đương với $BC^2=AB^2+AC^2$ $\Longleftrightarrow BC^2=2AB^2$ $\Longleftrightarrow (x_B-x_C)^2=2[(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2]$ $\Longleftrightarrow 4(m+1)= 2(m+1)+2(m+1)^4$ $\Longleftrightarrow (m+1)^3=1$ vì $m+1 \ne 0$ $\Longleftrightarrow m+1 = 1 \Longleftrightarrow m=0$.

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\cos x-1 \qquad (1)$

Giải: $(1) \Longleftrightarrow 2\sqrt{3}\sin x\cos x +2\cos^2x-2\cos x=0$ $\Longleftrightarrow \cos x(\sqrt{3}\sin x +\cos x-1)=0$ $\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} \cos x& = 0 \\ \sqrt{3}\sin x +\cos x& = 1 \end{array} \right.$ $\displaystyle\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} \cos x& = 0 \\ \cos (x-\displaystyle\frac{\pi}{3})& = \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x& = \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x& = k2\pi\\ x& \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.$

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{ll} x^3-3x^2-9x+22& = y^3+3y^2-9y \\ x^2+y^2-x+y & = \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Giải:Đặt $u =x ; \quad v= -y$, hệ phương trình trở thành: $\qquad \left\{ \begin{array}{ll} u^3-3u^2-9u+22& = -v^3+3v^2+9v \\ u^2+v^2-u-v & = \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} u^3+v^3-3(u^2+v^2)-9(u+v)+22& = 0\\ u^2+v^2-(u+v) & = \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right.$

Đặt $S=u+v ; P=u.v ; \ S^2\ge 4P$.

Hệ phương trình trở thành: $\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} S^3-3PS-3(S^2-2P)-9S+22& = 0\\ S^2-2P-S & = \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right.$

Giải hệ này ta được: $\qquad \left\{ \begin{array}{ll} S& = 2 \\ P & = \displaystyle\frac{3}{4} \end{array} \right.$ Vậy: $\qquad \left\{ \begin{array}{ll} u& = \displaystyle\frac{3}{2}\\ v & = \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. \quad \vee \quad \left\{ \begin{array}{ll} u& = \displaystyle\frac{1}{2}\\ v & = \displaystyle\frac{3}{2} \end{array} \right.$

Do đó nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $\qquad \left\{ \begin{array}{ll} x& = \displaystyle\frac{3}{2}\\ y & = -\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. \quad \vee \quad \left\{ \begin{array}{ll} x& = \displaystyle\frac{1}{2}\\ y & = -\displaystyle\frac{3}{2} \end{array} \right.$

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân : $I=\displaystyle\int_1^3\dfrac{1+\ln (x+1)}{x^2}dx$

Đặt $u = 1+\ln (1+x) \Longrightarrow du=\displaystyle\frac{dx}{1+x}$ $dv = \displaystyle\frac{dx}{x^2} \quad ; \quad v = -\frac{1}{x}$

Vậy $I= \left[ -\displaystyle\frac{1+\ln (1+x)}{x}\right]_1^3 +\underbrace{\displaystyle\int_1^3\displaystyle\frac{1}{x(x+1)}dx}_{\text{J}}$

Ở đây: $J=\displaystyle\int_1^3\left[\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right]dx= \left[\displaystyle\ln\left|\displaystyle\frac{x}{x+1}\right|\right]_1^3 =\ln\displaystyle\frac{3}{2}=\ln 3-\ln 2$

Khi đó: $I = \displaystyle\frac{2}{3}-\displaystyle\frac{2}{3}\ln 2+\ln 3$

Câu 5 (1,0 điểm)Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA = 2HB$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ theo $a$.

Trong tam giác $AHC$ ta có: $HC^2=AH^2+AC^2-2AH.AC\cos 60^\circ = \left(\displaystyle\frac{2a}{3}\right)^2+a^2-2\displaystyle\left(\frac{2a}{3}\right).a. \displaystyle\frac{1}{2}$ $\Longrightarrow HC=\displaystyle\frac{a\sqrt{7}}{3}$.

Trong tam giác vuông $SHC$ ta có: $\tan 60^\circ = \displaystyle\frac{SH}{HC} \Longrightarrow SH=\displaystyle\frac{a\sqrt{21}}{3}$

Vậy $V=\displaystyle\frac{1}{3}Bh=\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\displaystyle\frac{a\sqrt{21}}{3} =\displaystyle\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$

Ta có công thức: $V=\displaystyle\frac{1}{6}. SA.BC.\text{d}(SA,BC).\sin (SA, BC)$

Ở đây: $SA=\sqrt{SH^2+HA^2} = \displaystyle\frac{5a}{3}$ $\cos (SA,BC)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC} =\displaystyle\frac{\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC} =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}.\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{SA.BC} =\displaystyle\frac { \displaystyle\frac{2}{3}.a.a.\cos 60^\circ } { \displaystyle\frac{5a^2}{3} } = \displaystyle\frac{1}{5}$ $\Longrightarrow \sin (SA,BC)=\displaystyle\frac{\sqrt{24}}{5}$.

Tóm lại: $\text{d}(SA,BC) = \displaystyle\frac{6V}{SA.BC.\sin (SA,BC)}= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^3\sqrt{7}}{2}}{\displaystyle\frac{5a}{3}.a.\displaystyle\frac{\sqrt{24}}{5}} = \displaystyle\frac{a\sqrt{42}}{8}.$

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \displaystyle\frac{x+1}{2} =\displaystyle\frac{y}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{1}$ , mặt phẳng $(P) : x + y - 2z + 5 = 0$ và điểm $A (1; -1; 2)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Giải:Vì $M \in d$ nên $M(-1+2t;t;2+t)$. Vì $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $A$ nên: $N(3-2t;-2-t;2-t)$. Vì $N \in (P)$ nên: $3-2t-2-t-2(2-t)+5=0 \Longleftrightarrow t=2$. Khi đó $M(3;2;4)$ và $N(-1;-4;0)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}= (2;3;2)$.

Do đó phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $d: \displaystyle\frac{x-1}{2} =\displaystyle\frac{y+1}{3}=\displaystyle\frac{z-2}{2}$

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức $z$ thỏa $\displaystyle\frac{5\bar{z}+i}{z+1}=2-i$. Tính môđun của số phức $w = 1 + z + z^2.$

Giải:Giả sử $z=a+bi \Longrightarrow \bar{z}=a-bi$.

Khi đó đẳng thức đã cho được viết: $5(a+(1-b)i)=(2-i)(a+1+bi)$. $\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 5a&=2a+2+b\\ 1-b&=-a+2b-1 \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 3a-b&=2\\ a-3b&=-2 \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} a&=1\\ b&=1 \end{array}\right.$

Vậy $z= 1+i \Longrightarrow z^2=2i$. Do đó $w=2+3i$. Ta suy ra $|w|=\sqrt{13}$.